Troisième identité remarquable

Propriété Troisième identité remarquable (produit de deux expressions conjuguées)

Pour tous réels \(a\) et \(b\), on a \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

Démonstration

Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels.
Par double distributivité, on a :
\((a-b)(a+b)=a^2+ab-ba+b^2=a^2-b^2\).

Vocabulaire

Les expressions \(a\color{red}-b\) et \(a\color{red}+b\)  sont dites conjuguées.

Remarques

• Cette troisième identité remarquable ne comporte pas de double produit.
• Lorsqu'on lit la troisième identité remarquable de la gauche vers la droite, on développe.
• Lorsqu'on lit la troisième identité remarquable de la droite vers la gauche, on factorise.
  

Exemples Développement

Développons les expressions suivantes.

• \(A(x)=(2-x)(2+x)=2^2-x^2=4-x^2\).
  
• \(B(x)=\left(\dfrac{2}{3}-4x\right)\left(\dfrac{2}{3}+4x\right)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-(4x)^2=\dfrac{4}{9}-16x^2\).
  

Exemples Factorisation

Factorisons les expressions suivantes.

• \(C(x)=25x^2-9=(5x)^2-3^2=(5x+3)(5x-3)\).
  
• \(D(x)=7-x^2=(\sqrt7)^2-x^2=(\sqrt7-x)(\sqrt7+x)\).
  

Exemple Application au calcul numérique

Effectuons le calcul suivant.
\((\sqrt3+1)(\sqrt3-1)=(\sqrt3)^2-1^2=3-1=2\).

Exemple écrire sans radical au dénominateur

Écrivons sous la forme d'un nombre réel :
\(\dfrac{1}{\sqrt 2-1}=\dfrac{1\times (\sqrt 2+1)}{(\sqrt 2-1)(\sqrt 2+1)}=\dfrac{\sqrt 2+1}{(\sqrt 2)^2-1^2}=\dfrac{\sqrt 2+1}{2-1}=\dfrac{\sqrt 2+1}{1}=\sqrt 2+1\).
On a ici introduit l'expression conjuguée de \(\sqrt 2-1\), c'est-à-dire \(\sqrt 2-1\), et utilisé la troisième identité remarquable.